关于某点或某直线对称的曲线方程的求法

中学解题参考。

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班　李奇特

,常常遇到下面两类问题:

问题1:对曲线f(x,y)=0,如何求它关于某点

A(u0,v0)对称的曲线方程?

y=

2.故f(x,y)=0关于直线2

1+k

y=kx+b对称的曲线方程为f(

22)=0.,

1+k21+k2

问题2:对曲线f(x,y)=0,如何求它关于某直线

ax+by+c=0(a、b不同时为0)对称的曲线方程?

特别地,曲线(x,y)=0关于x轴对称的曲线方程是f(x,-y)=0、关于y轴对称的曲线方程是f(-x,

y)=0、关于直线y=x对称的曲线方程是f(y,x)=

对问题1,我们得出了下面的结论1;对问题2,分直线的斜率存在与不存在两种情况分别给出了下面的结论2和结论3.

结论1:曲线f(x,y)=0关于某点A(u0,v0)对称的曲线方程是f(2u0-x,2v0-y)=0.

证明:设P(x,y)关于A(u0,v0)对称的点为

(x′),则x+x′=2u0,y+y′=2v0.从而解得:xp′,y′=2u0-x′,y=2v0-y′.故f(x,y)=0关于点A(u0,)=0,即v0)对称的曲线方程为f(2u0-x′,2v0-y′f(2u0-x,2v0-y)=0.

0、关于直线y=-x对称的曲线方程是f(-y,-x)=0.

上述三个结论的证明都具有共性,就是先找出任意点关于某已知点或某已知直线对称的点的坐标.如果能记住上述三个结论,应用起来特别方便;如果没有记住,也可以仿照上述证明,找出任意点关于已知点或已知直线对称的点的坐标.再代入f(x,y)=0即可.下面略举几例:

【例1】　(2003年全国高考题)若圆C与圆(x+2)2

)+(y-1)2=1关于原点对称,则圆C的方程是(　　

(A)(x-2)2+(y+1)2=1(B)(x-2)2+(y+1)2=1(C)(x-2)2+(y+1)2=1(D)(x-2)2+(y-1)2=1

特别地,曲线f(x,y)=0关于原点对称的曲线方程是f(-x,-y)=0.

结论2:曲线f(x,y)=0关于直线x=u0对称的曲线方程是f(2u0-x,y)=0.

证明:由P(x,y)关于直线x=u0对称的点为

(2u0-x,y)即得证.P′

结论3:曲线f(x,y)=0关于直线y=kx+b对称的曲线方程是:

22()=0.f,

1+k21+k2

解:由结论1,(x+2)2+(y-1)2-1=0关于原点对称的曲线方程为(-x+2)2+(-y-1)2-1=0,故选(A).

【例2】　(2004年安徽高考题)已知直线L:x-y-1=0;直线L1∶2x-y-2=0.若直线L2与L1关于L对称,则L2的方程是

.

(x′),解:设P(x,y)关于直线L对称的点为P′,y′

证明:k=0的情形容易证明,下就k不为0的情形予以证明.

(x′设P(x,y)关于直线y=kx+b对称的点为P′,),则y′

=k+b,且=-22x′-x

k

.

则

--1=0,=-1.

22x′-x

(下转37页)

2从而解得:x=,2

1+k