概率论公式大全

概率论公式大全

一. 随机事件和概率 1、概率的定义和性质

（1）概率的公理化定义

设 为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：

1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =1

3° 对于两两互不相容的事件A1，A2，…有

（4）全概公式

设事件B1,B2,Λ,Bn满足 1

°

B1,B2,Λ,Bn

n

两两互不相容，

P(Bi)>0(i=1,2,Λ,n)，

2°则有

A ΥBi

i=1

，

P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+Λ+P(Bn)P(A|Bn)

。

此公式即为全概率公式。

（5）贝叶斯公式

设事件B1，B2，…，Bn及A满足

∞ ∞P ΥAi =∑P(Ai) i=1 i=1

常称为可列（完全）可加性。 则称P(A)为事件A的概率。

（2）古典概型（等可能概型）

1° ={ω1,ω2Λ

ωn}，

P(Bi)>0，i=1，Bn两两互不相容，B2，…，1° B1，

2，…，n，

2° 则

P(A)={(ω1)Υ(ω2)ΥΛΥ(ωm)}

=P(ω1)+P(ω2)+Λ+P(ωm)

库

1

2° P(ω1)=P(ω2)=ΛP(ωn)=。

n

设任一事件A，它是由ω1,ω2Λωm组成的，则有

A ΥBi

i=1

n

，P(A)>0，

P(Bi/A)=

P(Bi)P(A/Bi)

∑P(B

j=1

n

，i=1，2，…n。

j

)P(A/Bj)

文百度

P(AB)

为事件P(A)

mA所包含的基本事件数== n基本事件总数

此公式即为贝叶斯公式。

2、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯）

（1）加法公式

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)

（2）减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB)

当B A时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当A=Ω时，P(B)=1- P(B)

（3）条件概率和乘法公式

定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称

n）2，P(Bi)，（i=1，…，，通常叫先验概率。P(Bi/A)，

（i=1，2，…，n），通常称为后验概率。如果我们把A当作观察的“结果”，而B1，B2，…，Bn理解为“原

因”，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。

3、事件的独立性和伯努利试验

（1）两个事件的独立性

设事件A、B满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件

A、B是相互独立的（这个性质不是想当然成立的）。

若事件A、B相互独立，且P(A)>0，则有

P(B|A)=

P(AB)P(A)P(B)

==P(B)P(A)P(A)

所以这与我们所理解的独立性是一致的。

则可得到A与B、A与B、若事件A、B相互独立，

A与B也都相互独立。（证明）

由定义，我们可知必然事件 和不可能事件Ø与任

何事件都相互独立。（证明）

同时，Ø与任何事件都互斥。

（2）多个事件的独立性 设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，

A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为

P(B/A)=

P(AB)

。 P(A)

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。