高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结[1]

圆锥曲线

1.圆锥曲线的两定义：

第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于F1F2，当常数等于F1F2时，轨迹是线段F1F2，当常数小于F1F2时，无轨迹；双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝

形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：22）

ab例）：①范围：x a或x a,y R；②焦点：两个焦点( c,0)；③对称性：两条对称轴x 0,y 0，一

2

2

于双曲线S

x

2

btan

2

2

。 如 （1）短轴长为5，

（2）双曲线（以

y

2

1（a 0,b 0）为

练习：点P是双曲线上x

2

y

2

12

1上一点，F1,F2为

个对称中心（0,0），两个顶点( a,0)，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为x y k,k 0；④准线：两条准线x

2

2

双曲线的两个焦点，且PF1PF2=24，求 PF1F2的周长。 8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A1，B1，

对值”与2a＜|F1F2|不可忽视。若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a﹥|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

如方

程表示的 8a

2

c

； ⑤

离心率：e

e

ca

，双曲线 e 1，等轴双曲线

e越小，开口越小，e越大，开口越大；

若P为A1B1的中点，则PA⊥PB；（4）若AO的延长线

交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行

于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。 曲线是_____（答：双曲线的左支）

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：

（1）椭圆：焦点在x轴上时x2y2a2

b

2

1

2（a b 0），焦点在y轴上时

y

2a2

x

b2

＝1

（a b 0）。方程Ax2

By2

C表示椭圆的充要条

件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。

若x,y R，且3x2 2y2 6，则x y的最大值是____，x2 y2的最小值是___

2）

2（2）双曲线：焦点在x轴上：x2a

2

yb

2

=1，焦

2点在y轴上：

y

2a2

x

b

2

＝1（a 0,b 0）。方程

Ax2 By2

C表示双曲线的充要条件是什么？

（ABC≠0，且A，B异号）。

如设中心在坐标原点O，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率e

2的双曲线C过点P(4, )，则C

的方程为_______（答：x2

y2

6）

（3）抛物线：开口向右时y2 2px(p 0)，开口向左时y2 2px(

p 0，)开口向上时

x2

2py(p 0)，开口向下时x2

2py(p 0)。

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：

（1）椭圆：由x2,y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

2

如已知方程

x

m 1

y

2

2 m

1表示焦点在y轴

上的椭圆，则m的取值范围是__（答：( , 1) (1,3

2

)）

（2）双曲线：由x2,y2

项系数的正负决定，焦

点在系数为正的坐标轴上；

（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

提醒：在椭圆中，a最大，a2 b2 c2

，在双曲

线中，c最大，c2 a2 b2

。

4.圆锥曲线的几何性质：

（1）椭圆（以

x

2y

2a2

b

2

1（a b 0）为例）：

①范围： a x a, b y b；②焦点：两个焦点

( c,0)；③对称性：两条对称轴x 0,y 0，一个对

称中心（0,0），四个顶点( a,0),(0, b)，其中长轴长为2a，短轴长为2b；④准线：两条准线x a

2

c

；

⑤离心率：e

c

a

，椭圆 0 e 1，e越小，椭圆

越圆；e越大，椭圆越扁。

2

2

如（1）若椭圆

x

5

y

m

1的离心率e

5

，则m

的值是__（答：3或

25

3

）；

（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角

⑥两条渐近线：y b

a

x。

（3）抛物线（以y2 2px(p 0)为例）：①范围：x 0,y R；②焦点：一个焦点(

p

2

,0)，其中p的几

何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴

y 0，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）

；④准线：一条准线x

p2

； ⑤离心率：e

ca

，抛物线

e 1。

如设a 0,a R，则抛物线y 4ax2的焦点坐标为________（答：(0,

1)）； 16a

25、点P(xx20,y0)和椭圆

a

2

yb

2

1（a b 0）的

x22

关系：（1）点P(x00,y0)在椭圆外 a

2

y0b

2

1；

（2）2点P(xx2000,y0)在椭圆上

a2

yb

2＝1；（3）点

x22

P(x00,y0)在椭圆内

a

2

y0

b

2

1

6．直线与圆锥曲线的位置关系：

（1）相交： 0 直线与椭圆相交； 0 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有 0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故 0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件； 0 直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有 0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故 0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。

（2）相切： 0 直线与椭圆相切； 0 直线与双曲线相切； 0 直线与抛物线相切； （3）相离： 0 直线与椭圆相离； 0 直线与双曲线相离； 0 直线与抛物线相离。

提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,2也只有一个交点；（2）过双曲线

x

a2

y

2b

2

＝1外一点

P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如

下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。

7、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点

所构成的三角形）问题： S b2

tan 2

c|y0|，当

|y0| b即P为短轴端点时，Smax的最大值为bc；对

9、弦长公式：若直线y kx b与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1,x2分别为A、B的横坐标，则AB

＝1 x2，若y1,y2分别为A、B的纵坐标，则

AB＝

1k

2

y1 y2，若弦AB所在直线方程设为

x ky b，则AB

＝1 y2。特别地，焦

点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用

弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。

10、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。 22在椭圆

xa

2

yb

2

1中，以P(x0,y0)为中点的弦所在

b2

直线的斜率k=－x0a2y；

弦所在直线的方程： 垂直平分线的

方程： 22在双曲线

xa

2

yb

2 1中，

以P(x0,y0)为中点的弦所在2

直线的斜率k=

bx0a2

y；在抛物线y2 2px(p 0)中，

以P(xp0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=

y。

提醒：因为 0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要

条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验 0！

11．了解下列结论

（1）双曲线

x2y2xya

2

b

2

1的渐近线方程为

a

b

0；

（2）以y

ba

x为渐近线（即与双曲线

x222

y2a

2

yb

2

1共渐近线）的双曲线方程为x

a

2

b

2

(

为参数， ≠0）。

（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲

线方程可设为mx2 ny2

1；

（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为2b2

a

，焦准距（焦点到相应准线的距离）

2

为b

c

，抛物线的通径为2p，焦准距为p；

（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；

（6）若抛物线y2

2px(p 0)的焦点弦为AB，

A(x1,y1),B(x2,y2)，则①|AB| x1 x2 p；

2

②x1x2

p

4

,y1y2 p2

（7）若OA、OB是过抛物线y2

2px(p 0)顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点(2p,0)

12.圆锥曲线中线段的最值问题：

例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,42)