2010高考数学一轮复习讲义—17.算法案例

满好的

一．【课标要求】

通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。

二．【命题走向】

算法是高中数学新课程中的新增内容，本讲的重点是几种重要的算法案例思想，复习时重算法的思想轻算法和程序的构造。

预测2010年高考队本讲的考察是：以选择题或填空题的形式出现，分值在5分左右，考察的热点是算法实例和传统数学知识的结合题目

三．【要点精讲】

1．求最大公约数

（1）短除法

求两个正整数的最大公约数的步骤：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是两个互质数为止，然后把所有的除数连乘起来

（2）穷举法（也叫枚举法）

穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤：从两个数中较小数开始由大到小列举，直到找到公约数立即中断列举，得到的公约数便是最大公约数

（3）辗转相除法

辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法可以描述如下： ① 输入两个正整数m和n；

② 求余数r：计算m除以n，将所得余数存放到变量r中；

③更新被除数和余数：m=n，n=r；

④判断余数r是否为0。若余数为0，则输出结果；否则转向第②步继续循环执行 如此循环，直到得到结果为止。 （4）更相减损术

我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在《九章算术》中记载了更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母 子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之

步骤： Ⅰ．任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。

Ⅱ．以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。

2．秦九韶算法

秦九韶算法的一般规则：

秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0的求值问题。用秦九韶算法求一般多项式f(x)= anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0当x=x0时的函数值，可把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题，即求 v0=an

v1=anx+an－1 v2=v1x+an－2 v3=v2x+an－3 ……..

vn=vn－1x+a0

观察秦九韶算法的数学模型，计算vk时要用到vk－1的值，若令v0=an。

我们可以得到下面的递推公式：