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华中科技大学数理方程与特殊函数课后答案

华中科技大学数学系第二版数理方程与特殊函数课后答案,低分值

华中科技大学数理方程与特殊函数课后答案

9. 证明laplace方程uxx+uyy=0在极坐标(r,θ)下为11

urr+ur+2uθθ=0

rr

x=rcosθ

证明: ∵ ,

y=rsinθ ∴u(x,y)=u(rcosθ,rsinθ), ur=cosθux+sinθuy;

uθ= rsinθux+rcosθuy.

sinθsinθ cosθ= uθuu=cos ; xrθ r r x r

u=sinθu+cosθu. = sinθ +cosθyrθ r yr r

从而

θ ; . θ

u sinθ u

(= cosθ uxx= ()

r θ x x x r

sinθ usinθ u

= cosθ cosθrrrrθθ 222usinθcosθusinθcosθusinθ u

+ =cos2θ2+

r2rr2 r r θ r θ

sinθcosθ 2usinθcosθ usin2θ 2u

.++ 222

rrr r θ θ θ u cosθ u ()= sinθ+ uyy= (r θ y y y r cosθ ucosθ u

++ = sinθ sinθ rrθrrθ

2usinθcosθ usinθcosθ 2ucos2θ u2

=sinθ2 ++2

rrr2 r r θ r θ

sinθcosθ 2usinθcosθ ucos2θ 2u

. + +222

rrr r θ θ θ

11

所以 uxx+uyy=urr+ur+2uθθ=0.

rr

第1页

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