初中数学竞赛辅导(初二分册)

第一讲：因式分解(一) ...................................................... 1 第二讲：因式分解(二) ...................................................... 4 第三讲 实数的若干性质和应用 ....................................... 7 第四讲 分式的化简与求值 ............................................. 10 第五讲 恒等式的证明 ..................................................... 13 第六讲 代数式的求值 ..................................................... 16 第七讲 根式及其运算 ..................................................... 18 第八讲 非负数 ................................................................. 22 第九讲 一元二次方程 ..................................................... 26 第十讲 三角形的全等及其应用 ..................................... 29 第十一讲 勾股定理与应用 ............................................. 33 第十二讲 平行四边形 ..................................................... 36 第十三讲 梯形 ................................................................. 39 第十四讲 中位线及其应用 ............................................. 42 第十五讲 相似三角形(一) .............................................. 45 第十六讲 相似三角形(二) .............................................. 48 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2

-b2

=(a+b)(a-b)； (2)a2

±2ab+b2

=(a±b)2

； (3)a3

+b3

=(a+b)(a2

-ab+b2

)； (4)a3

-b3

=(a-b)(a2

+ab+b2

)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2

+b2

+c2

+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2

；

(6)a3

+b3

+c3

-3abc=(a+b+c)(a2

+b2

+c2

-ab-bc-ca)； (7)an

-bn

=(a-b)(an-1

+an-2

b+an-3b2

+ +abn-2

+bn-1

)其中n为正整数；

(8)an

-bn

=(a+b)(an-1

-an-2

b+an-3b2

- +abn-2

-bn-1

)，其中n第十七讲* 集合与简易逻辑 ........................................... 51

第十八讲 归纳与发现 ..................................................... 56 第十九讲 特殊化与一般化 ............................................. 59 第二十讲 类比与联想 ..................................................... 63 第二十一讲 分类与讨论 ................................................. 67 第二十二讲 面积问题与面积方法 ................................. 70 第二十三讲 几何不等式 ................................................. 73 第二十四讲* 整数的整除性 ........................................... 77 第二十五讲* 同余式 ....................................................... 80 第二十六讲 含参数的一元二次方程的整数根问题 ..... 83 第二十七讲 列方程解应用问题中的量 ......................... 86 第二十八讲 怎样把实际问题化成数学问题 ................. 90 第二十九讲 生活中的数学(三) ——镜子中的世界 ..... 94 第三十讲 生活中的数学(四)──买鱼的学问............... 99

第一讲：因式分解(一)

(9)an

+bn

=(a+b)(an-1

-an-2

b+an-3b2

- -abn-2

+bn-1

)，其中n为奇数．

运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式： (1)-2x

5n-1yn+4x

3n-1yn+2

-2xn-1yn+4

；

(2)x3

-8y3

-z3

-6xyz； (3)a2

+b2

+c2

-2bc+2ca-2ab； (4)a7

-a5b2

+a2b5

-b7

．

解 (1)原式=-2xn-1yn

(x4

n-2x2

ny2

+y4

) =-2xn-1yn

[(x2

n)2

-2x2

ny2

+(y2)2

] =-2xn-1yn

(x2

n-y2)2

=-2xn-1yn

(xn

-y)2

(xn

+y)2

． (2)原式=x3

+(-2y)3

+(-z)3

-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2

+4y2

+z2

+2xy+xz-2yz)． (3)原式=(a2

-2ab+b2

)+(-2bc+2ca)+c2

＝(a-b)2

+2c(a-b)+c2

=(a-b+c)2．

本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下： 原式=a2

+(-b)2

+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b) =(a-b+c)2

(4)原式=(a7

-a5b2

)+(a2b5

-b7

)