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世界上精度最高的椭圆周长初等公式

用高精度的上界公式和下界公式及两边夹定理,求椭圆周长的精确值,并推导世界上精度最高的椭圆周长二级等比公式。

世界上精度最高的椭圆周长初等公式

成都七中高中远程教学 周钰承 15983417081

根据微积分基本原理,可以写出椭圆周长的定积分公式,但由于被积函数的原函数不是初等函数,所以椭圆周长没有标准的初等公式。但数学家们推导、证明了下面这个椭圆周长标准公式:

1 22 1 24 1 3 26 5!! 28

C (a b) 1 (1)

2 4 2 4 6 8!! 2

公式(2)中,

a b。 a b

这个公式表明,椭圆周长的主要部分为 (a b),我们可以把(1)中括号里从第二项起称为椭圆率多项式:

1 1 4 1 3 6 5!! 8

f( ) 2 (2)

22 42 4 6 8!!

通常,我们要计算椭圆周长,必须先给出一个精确度。

假如要求我们误差率低于d,我们设需要计算到椭圆率多项式第n项,不妨设n 2,则椭圆率多项式(2)中,第n+1项及其以后无穷多项之和必须满足下列不等式:

2222

(2n 1)!! 2n 2 (2n 1)!! 2n 4 (2n 3)!! 2n 6 d (2n 2)!! (2n 4)!! (2n 6)!!

因为(注意n 2):

222

(2n 1)!! 2n 2 (2n 1)!! 2n 4 (2n 3)!! 2n 6

(2n 2)!! (2n 4)!! (2n 6)!! (2n 1)!! 2n 2 (2n 1)!! 2n 4 (2n 1)!! 2n 6 (2n 2)!! (2n 2)!! (2n 2)!! 1 2n 2 1 2n 4 1 2n 6 256 256 256 1 2n 2

2561 21 2n 2

d 所以只须:

2561 2

2

2

2

2

2

2

222

2n 2 256(1 2)d

ln256(1 2)dn 1(3)

2ln

第1页

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