高中数学典型例题解析：第四章 数列--学案

高中数学

第四章 数§4.1等差数列的通项与求和

一、知识导学

1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列.

2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项， ，第n项， .

3.通项公式：一般地，如果数列｛an｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列.5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列

6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a1,a2,然后用递推关系逐一写出数列中的项.

7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示．

8.等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝

a ba b

．我们把Ａ＝叫做ａ和ｂ的等差中项． 22

二、疑难知识导析

1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3， ，n｝)的函数.

2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.

S1

3.数列｛an｝的前n项的和Sn与an之间的关系：an

Sn Sn 1

(n 1),(n 2).

若a1适合an(n>2),则an不用分段形式

表示，切不可不求a1而直接求an.

4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：an= a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an是关于n的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,an）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.

5、对等差数列的前n项之和公式的理解：等差数列的前n项之和公式可变形为Sn ＝

d2d

n (a1 )n，若令A22

dd2

，B＝a1－，则Sn＝An+Bn.22

6、在解决等差数列问题时，如已知，a1，an，d，Sn，n中任意三个，可求其余两个。三、经典例题导讲

[例1]已知数列1，4，7，10， ，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+ +（3n－5）是该数列的前几项之和.

[例2] 已知数列 an 的前n项之和为① Sn 2n n ② Sn n2 n 1

2

求数列 an 的通项公式。