2004年全国高中数学联赛模拟试题

中学数学教学参考　　2004年第8期

竞赛园地

53　　

　

2004年全国高中数学联赛模拟试题

　西安铁一中　代建民　

　　一、选择题(每小题6分,共36分)

112910

).1.C010C10+C10C10+…+C10C10等于(　　

A.C8B.C920　　　　　　20

C.C1020　　　π2.设-<-<αβ<,则有222

(　　).

A.sinα>cosβ　　　　B.sinα>sinβ

α>sinβD.cosα>cosβC.cos

,x∈[0,),22

3.已知f(x)=

2(1-x),x∈[,1].

2

x+

交xb

..a、c,a2+b2+c2=1.记M=a+

,b+

c

,c+

a

,则M的最小值为

定义fn(x)=f(fn-1(x)),则f2004()等于

5

(　　).

A.　　B.　　C.　　D.

5555

2

4.数列{an}满足a1=,an+1=an-an+1,

2

则m=++…+的整数部分为

a1

a2

a2004

(　　).

.

11.三棱锥P2ABC中,∠CPA=60°,∠BPC=45°,∠APB=30°,PA=1,PB=2,PC=3,则三棱锥P2ABC的体积为.

12.SS的“积数”,

给定M=,则M的所有含偶数,,,…,

234“积数”.

三、解答题

13.(满分20分)求实数a的取值范围,使不等式

)-2sec(θ-)sin2θ-(2+a)sin(θ+

44>-3-2a对一切θ0,恒成立.

2

14.(满分20分)已知圆C0:x2+y2=1和椭圆

2

a2

2

A.0　　B.1　　C.2　　D.45.给出下列四个条件:

(1)z1+z2=a,z1z2=b,a2-4b≤0,其中a,b∈R;(2)(z1+z2)2≥0,且(z1-z2)2≤0;(3)z1+z2∈R,且|z1|=|z2|;(4)z1-z2∈R,且|z1|=|z2|.

=1(a>b>1),直线l与C0相切且与椭圆交于b2A、B两点.

+

(Ⅰ)若OA⊥OB,求证:

a

2

+

b

2

=1;

(Ⅱ)若l变化时,以OA、OB为邻边的平行四边

可作为“z1、z2互为共轭复数”的充要条件的共有

(　　)个.

A.1　　B.2　　C.3　　D.4

6.使直线ax+by=1与圆x2+y2=50只有整数

).公共点的有序实数对(a

,b)的个数为(　　

A.72　　B.74　　C.78　　D.82二、填空题(每小题9分,共54分)

7.设0°<α<90°,若(60°-a)=,

sinα

则a=.

8.已知a,b,x,y∈R,数列{an}的通项an=axn

+byn.若a2001=3,a2002=7,a2003=16,a2004=42,则a2005=.=1的右支上一点,P不在

169

实轴上,F1、F2为左右焦点,H为△PF1F2(PF2边)

-9.P是双曲线

2

形的第四个顶点为P,求OP的最大值和最小值.

15.(满分20分)设f(x)的定义域为R,对于任意的x,y∈R有f(x+y)=f(x)f(y),当x<0时,

f(x)>1,且f(-1)=.数列{an}满足a1=f(0),a2

(())

.试求所有的

f((n+2)an)

=f(-2),且f(an+2)=

正整数n,使11|an.

加　试

(满分20分)已知点D是线段BC上一点,一、

⊙O1与⊙O2与线段BC切于D(D点不同于B、C),

2

过B、C分别向⊙O1、⊙O2引切线,切点分别为E、F和M、N,求证:E、F、M、N共圆.

(满分20分)设n是给定的正整数,n>2,xi二、

>0(i=1,2,…,n),求最大的常数K,使

x2+x3+…+xn

+

x1+x3+…+xn

+…+