当前位置： 文档下载 > 所有分类 > 自然科学 > 钢琴十二平均律等比值的数学推理.用等比数列的概念导出十二平均律的等比值
钢琴十二平均律等比值的数学推理
李立
首先，我们看看繆天瑞在所著《律学》第五章对“十二平均律”的描述：“十二平均律”简称“平均律”。这种律制，就是把一组（即八度）分成频率比相等的十二个半音，所以亦称“十二等比率”（简称等比率）。
再看怀特所著《钢琴的调律与有关技术》一书中对平均律的描述：键盘把一个八度内的音限定为十三个。……它要求在给各个八度的调律中，使一个八度由十二个相连并相等的半音组成。既然如此，这种“平均化”了的半音的频率比当然就是1:2的十二次方根，即1:1.0594631。
这两段描述说明了十二平均律的基本概念，并给出了相邻两半音等比值的
数学值：1.0594631）。然而，在国内我们所接触到的很多有关十二平均律的论述中，
几乎都没有对十二平均律等比值客观的说，
很多学习者并不知道十二平均律的等比值是如何得来的，为什么当然就
是下面，我们就用数学推理的方法来导出十二平均律的等比值。按照十二平均律的概念，任取C大调一个八度内的十三个半音如下:
CC#DD#EFF#GG#AA#Bc这里，每个音名符号都代表着它自己的固定音高频率。
接下来，我们温习一下初等数学里等比数列这个概念。等比数列的定义为：如果一个数列从第二项起，每一项和它前一个项的比，都等于一个常数，这个数列叫着等比数列。这个常数叫着等比数列的公比，通常用字母r表示。
显然，十二平均律一组十三个半音之间的关系是符合数学等比数列这一特征的，因为任意两个相邻半音之间的比值都是一个不变的常数。权且我们还不
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