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解题思想方法
隔板法在排列组合中的应用技巧
■湖北 张红兵
在排列组合中,对于将不可分辨的球装入到可以分辨的盒子中而求装入方法数的问题,常用隔板法.
例1 求方程x+y+z=10的正整数解的个数
.
,C2:.
yz=的非负整数解的
.
2本例通过添加球数,将问题转化为如例1中的典型隔板法问题.
技巧二:减少球数用隔板法.
例3 将20个相同的小球放入编号分别为1,2,3,4的四个盒子中,要求每个盒子中的球数不少于它的编号数,求放法总数.
解法1:先在编号1,2,3,4的四个盒子内分别放0,1,2,3个球,剩下14个球,有1种方法;再把剩下的球分成4组,每组至少1个,由例1知方法有C313=286(种).
解法2:第一步先在编号1,2,3,4的四个盒子内分别放1,2,3,4个球,剩下10个球,有1种方法;第二步把剩下的10个相同的球放入编号为1,2,3,4的盒子里,由例2知方法有C313=286(种).
在上述同学们提出的疑问中,分子C818表示将18个人分成两组,其中一组8人,另一组10人,属于“分成甲、乙两组”的类型,具有指向性;而C1020表示将20个人平均分成两组,不具有指向性.(责任编辑 朱 宁)
(高中版)/2004 《中学生数理化》12 13
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