初中数学竞赛辅导资料23

初中数学竞赛辅导资料(23) 递推公式 甲内容提要 1. 先看一例：a1=b,a2=

2 2 2 ,a3= …… an+1= a2 a1 an

这里a1,a2,a3……an,an+1是对应

于正整数1,2,3……n,n+1 的有序的一列数(右下标的数字表示第几项) ,这一列数 只要给出某一项数值，就可以推出其他各项数值. 例如: 若 a1=10, 则a2=

1 2 1 = ,a3=10,a4= ,a5=10…… 5 10 5 例

2. 为了计算的方便，通常把递推公式写成以a1和n表示an的形式，这可用经验归纳法. 如：把递推公式an+1=an+5改为用a1 和n来表示 ∵a2=a1+5, ∴a3=a2+5=(a1+5)+5=a1+2×5, a4=a3+5=(a1+2×5)+5=a1+3×5 …… ∴an=a1+(n-1)5 如果 已知a1=10, 求a20,显然代入这一公式方便.A20=10+19×5=105 3.有一类问题它与正整数的顺序有关，可寻找递推公式求解，这叫递推法. 乙例题 例1.已知：a1=2, an=an-1+2(n-1) (n≥2) 求：a100的值 解：a100=a99+2×99 =a98+2×98+2×99 =…… =a1+2×1+2×2+2×3+……+2×98+2×99 =2+2×

(1 99 ) 99 =9902 2

又解：a2=a1+2×1 a3=a2+2 × 2=(a1+2×1)+2×2 a4=a3+2×3=(a1+2×1+2×2)+2×3 …… a100=a1+2×1+2×2+2×3+……+2×99 =2+2(1+2+3+……+99)=9902 例2.已知：x1=97, 对于自然数n>1, xn=

n x n 1

求：x1x2x3· x8的值 ……·

解：由递推公式xn=

n x n 1

可知

x1x2=x1

2 =2 x1

x3x4=x3

4 =4 x3

x5x6=x5

6 =6 x5

x7x8=x7

8 =8 x7

∴x1x2x3· x8=2×4×6 ×8=384 ……·

例3.已知：100个自然数a1,a2,a3……a100满足等式 (n-2)an-(n-1)an-1+1=0 (2≤n≤100)并且a100=199 求：a1+a2+a3+……+a100