ECC算法研究

很好的ECC资料,看了就知道了。

1 目标

本文旨在解决如下几个问题：

1、 ECC编解码算法的数学原理及推导

2、 ECC编解码算法与C语言实现的对应关系，如何一一对应 3、 C语言实现与RTL代码实现的对应关系，如何一一对应 4、 RTL代码实现的优化方向

2 概述

BCH(Bose一Chaudhuri一Hocquenghem)码是1959年由霍昆格姆(Hocquenghem),1960年由博斯(Bose)和雷·查德胡里(Ray Chaudhuri)提出的纠正多个随机错误的循环码，可以用生成多项式g(x)的根来描述。它是具有严格的代数结构，纠错能力强、构造简单、编码较其它码容易等特点的线性分组码。

m

定义：给定任一有限域GF(q)及其扩域GF（q），其中q是素数或素数的幂，m为某一正整数。若码元取自GF(q)上的一循环码，它的生成多项式g(x)的根集合R中含有以下δ-1个连续根：M0M0+1M0+δ-2{α，α，…，α}时，则由g(x)生成的循环码称为q进制BCH码。

在实 际 应 用中用得最多的是码元取自有限域GF(2)中的二进制BCH码，对于一个正整

m2

数m0则有:取m0=1, δ=2t十1，设α是伽罗华域GF(2)的本原域元素，则码以α，α，…，α2ti

为根生成多项式:g(x)= LCM(m1(x) m2(x)…m2t(x)),式中mi(x)是α(1≤i≤2t)相应的最小

m2ii

多项式，t为纠正错误个数。由于在特征为2的G(2)域上，α的最小多项式与α的相同，所

35

以生成多项式简化为: g(x)= m1(x) m3(x)…m2t-1(x).相应地，二进制BCH码以α,α,α,…, 2t-1

α为 根 ，码长n=LCM(φ1，φ3，…,φ1t-1)，码的校验矩阵就为

其中φ1，φ3，…,φ2t-1分别是α,α,α,…, α对 应元素的级，所以二进制BCH码

mmm

的码长是n≤2-1，当n=2-1时，称为本原长码，当n＜2-1时则称为缩短码(shortenedc ode)。校验位数目至多为ð0 g(x)=mt个，设计最短距离dmin=2t十1，可纠正≤t个随机错误。

352t-1

3 编码

设输入信息多项式I(x)=I0+I1x+…+Ik-1x，校验多项式P(x)=P0+P1x+P2x+Pn-k-1x,则2t2txI(x)对生成多项式g(x)求模得到的余式就是校验多项式P(x)，即P(x)= xI(x)(mod g(x))，

k-1

2

n-k-1