初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第3讲 充满活力的韦达定理

第三讲 充满活力的韦达定理

一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。

韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在： 运用韦达定理，求方程中参数的值； 运用韦达定理，求代数式的值；

利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征； 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。

韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。

韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。 【例题求解】

【例1】 已知 、 是方程x2 x 1 0的两个实数根，则代数式 2 ( 2 2)的值为。 思路点拨：所求代数式为 、 的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例 【例2】如果a、b都是质数，且a2 13a m 0，b2 13b m 0，那么 A、

123125125123

B、或2 C、 D、或2 22222222

ba

的值为( ) ab

思路点拨：可将两个等式相减，得到a、b的关系，由于两个等式结构相同，可视a、b为方程

x2 13x m 0的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。

注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于x1、x2的对称式，这类问题可通过变形用x1+x2、x1x2表

示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：

(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式。

m2

【例3】 已知关于x的方程：x (m 2)x 0

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(1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。

2

(2)若这个方程的两个实根x1、x2满足x2 x1 2，求m的值及相应的x1、x2。

思路点拨：对于(2)，先判定x1、x2的符号特征，并从分类讨论入手。

【例4】 设x1、x2是方程2x2 4mx 2m2 3m 2 0的两个实数根，当m为何值时，x12 x22有最小值?并求出这个最小值。

思路点拨：利用根与系数关系把待求式用m的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的。

注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式△≥0这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性。

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【例5】 已知：四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD的长是关于x的方程x2 2mx (m )2 0

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的两个根。

(1)当m＝2和m>2时，四边形ABCD分别是哪种四边形?并说明理由。

(2)若M、N分别是AD、BC的中点，线段MN分别交AC、BD于点P，Q，PQ＝1，且AB<CD，求AB、CD的长．