Z高中数学圆的方程典型例题9

高中数学圆的方程典型例题

类型一：圆的方程

例1 求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y 0上的圆的标准方程并判断点

∴半径r AC

(1 1)2 42 20．

2

2

故所求圆的方程为(x 1) y 20． 又点P(2,4)到圆心C( 1,0)的距离为

P(2,4)与圆的关系．

分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P与圆的位置关系，只须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．

解法一：（待定系数法）

设圆的标准方程为(x a) (y b) r． ∵圆心在y 0上，故b 0． ∴圆的方程为(x a) y r． 又∵该圆过A(1,4)、B(3,2)两点．

22

(1 a) 16 r∴ 22

(3 a) 4 r

d PC (2 1)2 42 25 r．

∴点P在圆外．

说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？

例2 求半径为4，与圆x y 4x 2y 4 0相切，且和直线y 0相切的圆的

2

2

222

222

方程．

分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．

(x a) (y b) r． 解：则题意，设所求圆的方程为圆C：

圆C与直线y 0相切，且半径为4，则圆心C的坐标为C1(a,4)或

222

C2(a, 4)．

又已知圆x y 4x 2y 4 0的圆心A的坐标为(2,1)，半径为3．

2

2

解之得：a 1，r 20．

所以所求圆的方程为(x 1) y 20． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径）

因为圆过A(1,4)、B(3,2)两点，所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上，又因为kAB

若两圆相切，则CA 4 3 7或CA 4 3 1．

(1)当C1(a,4)时，(a 2) (4 1) 7，或(a 2) (4 1) 1(无解)，故可得a 2 2．

∴

所

求

圆

方

程

为

2

2

2

2

2

2

2

2

2

4 2

1，故l的斜率为1，又AB的中点为(2,3)，故AB的垂直平1 3

分线l的方程为：y 3 x 2即x y 1 0．

又知圆心在直线y 0上，故圆心坐标为C( 1,0)

(x 2 2)2 (y 4)2 42

，或