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概率论与数理统计 7.3置信区间

为未知参数, 是取自总体X的一组样本 的一组样本, 为未知参数 其中 θ > 0为未知参数 X1, X2, …, Xn 是取自总体 的一组样本 的极大似然估计量与矩估计量. 求 θ 的极大似然估计量与矩估计量 似然函数为 解(1) 样本的似然函数为 ) 样本的似然函数 n (θ + 2)n ( x1 Lxn )θ +1 , = L(θ ) = ∏ f ( xi ; θ ) i =1

; (θ + 2) xθ +1 , 0 < x < 1 设总体 X 的密度为 f ( x; θ ) = 0, 其它,

xi >0, i =1, 2,L, n; 其他 .

故有对数似然函数: L(θ ) = nln(θ + 2) (θ + 1)∑ln xi , 故有对数似然函数: 对数似然函数 ln i =1 (θ ) = n + n ln x = 0 , 可得似然方程 d 似然方程: 对θ 求导并令其为 0 可得似然方程: ln L dθ θ +2 ∑ i n i =1 解得极大似然估计量 极大似然估计量: 解得极大似然估计量:θ = 2 n ∑ln Xi i =1 +∞ θ +2 θ +2 1 n = n ∑ Xi = X , (2)EX = ∫ ∞ xf ( x; θ ) dx = ) 令 i =1 θ +3 θ +3 解得矩估计量: 解得矩估计量: = θ 3X 2 . 1 X

0, 当0<x i <1时, L(θ)> 0, 1 ≤ i ≤ n, 时 (

n

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