【智博教育原创专题】“一定二动斜率定值”问题解题策略

自己平时教学收集整理,全公式编辑器编辑,自动编号,非常适合教学使用。

“一定二动斜率定值”问题的高等背景与初等解法

以下四个例题，都有类似条件：A是圆锥曲线C上的定点，E,F是圆锥曲线C上的两个动点，求证直线EF的斜率为定值.我们把这类问题简称“一定二动斜率定值”问题，笔者经过仔细分析发现，这类问题的命题者利用了导数法研究曲线的切线斜率，也就是利用了导数产生的几何背景，本文利用极限与导数这一高等数学的方法先探求这个定值，然后利用初等方法给出证明。

x2y23

【例1】如图1，已知E,F是椭圆 1上的两个动点，A(1,)是椭圆上的定点，如果直线AE

432

与AF关于直线x 1对称，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。

图1

3

【高等背景】当AE与AF的倾斜角都趋近于90 时，直线EF的斜率就趋向于过A1(1, )的切线斜

232 ( )y 22

2 1xy2x2yy 3 0，率，在 1中，两边对x求导有， 0，把A1(1, )代入有：4343432

11

解得y 。因此，可以确定所求的定值为。

22

【初等解法】因为直线AE与AF关于直线x 1对称，所以直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，

333

设直线AE的方程为y k(x 1) ，则直线AF的方程为y k(x 1) ，把y k(x 1) 代入

222

22

3xy

设E(注意到x 1是x1,y1),F(x,2y)2， 1得(3 4k2)x2 4k(3 2k)x 4( k)2 12 0①，

432

334( k)2 124( k)2 12

方程①的一个根，由根与系数关系得，x1 ，同理可求x2 ， 2

3 4k3 4k2

33

k(x1 1) [ k(x2 1) ]

y y2 k(x1 x2) 2k，把x,x代入上式得k 1。 kEF 1 12EF

2x1 x2x1 x2x1 x2

x2y2

【例2】如图

2，已知E,F

是椭圆

1上的两个动点，A是椭圆上的定点，如果直线

124

AE与AF关于直线y对称，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。