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2014年一模圆综合题汇编
1. 如图，AB是⊙O的直径，点E是BD上一点，∠DAC=∠AED． （1）求证：AC是⊙O的切线；
（2） 若点E是BD的中点，连结AE交BC于点F，当BD=5，
CD=4时，求DF的值．
解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠ADC=90°．
∵∠B=∠AED =∠CAD，∠C=∠C，
C CAD C B 90.
∴∠BAC=∠ADC=90°．∴AC是⊙O的切线．
（2）可证△ADC∽△BAC．
∴
ACCD2
．即AC=BC×CD=36． BCAC
解得 AC=6．∵点E是BD的中点， ∴∠DAE=∠BAE.
∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD， ∴CA=CF=6，∴DF=CA﹣CD=2．
2.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接OD，过点D作⊙O的切线，交AB延长线于点E，交AC于点F． （1）求证：OD∥AC；
（2）当AB=10，
解答（1）证明：连接AD．
时，求AF及BE的长．
∵AB是直径，∴∠ACB=90°．∴AD⊥BC． ∵AB=AC，∴∠1=∠2．∴∠1=∠ODA． ∴∠2=∠ODA．∴OD∥AC．
(2)解: ∵EF是⊙O的切线，
可得∠ODE=90°．
由（1）知OD∥AC，∠1=∠2，∠ADB=90°． ∴∠AFE=∠ODE=90°，∠ADF=∠ABC．
A
F
1
E
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