13 正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差

概率论

13 正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差

一、设随机变量X服从正态分布N(1,22)，求（1）P( 1.6 X 5.8)；（2）P(X 4.56)． 解：(1) P( 1.6 X 5.8) P( 2.6 X 1 4.8) P( 1.3

X 12

2.4)

Φ0,1(2.4) Φ0,1( 1.3) Φ0,1(2.4) [1 Φ0,1(1.3)] 0.9918 1 0.9032 0.8950

(2) P(X 4.56) 1 P(X 4.56) 1 P( 2.78

X 12

1.78)

1 [Φ0,1(1.78) Φ0,1( 2.78)] 1 Φ0,1(1.78) 1 Φ0,1(2.78)]

2 0.9625 0.9973 0.0402.

二、已知某种机械零件的直径X（mm）服从正态分布N(100,0.62)．规定直径在100 1.2（mm）

之间为合格品，求这种机械零件的不合格品率． 解：设p表示这种机械零件的不合格品率，则p P(X 100 1.2) 1 P(X 100 1.2)．

而P(X 100 1.2) P(

1.2

0.60.60.60.6

(2) ( 2) (2) [1 (2)] 2 (2) 1

X 100

1.2

) P( 2

X 100

2)

2 0.9772 1 0.9544 故p 1 0.9544 0.0456．

三、测量到某一目标的距离时发生的误差X(m)具有概率密度 402

求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m的概率． 解：三次测量中每次误差绝对值都超过30米可表为

f(x)

1

e

(x 20)3200

2

D {第一次 30} {第二次 30} {第三次 30}

因为ξ~N(20,40)，所以由事件的相互独立性，有

P(D) (P{ 30})

3

2

(P{ξ 30 ξ 30})

3

3

3

[Φ0,1( 1.25) 1 Φ0,1(0.25)]

3

(2 0.5987 0.8944) 0.5069 于是有

P{三次测量中 至少有一次绝对值

0.13025

30米} 1 P(D) 1 0.13025 0.86975．

2X

四、设随机变量X~N( , )，求随机变量函数Y e的概率密度（所得的概率分布称为对数正态分布）．

解：由题设，知X的概率密度为

fX(x)

1

(x )2

22

2

从而可得随机变量Y的分布函数为

e( x )

FY(y) P(Y y) P(e

X

y)．

当y 0时，有FY(y) 0；此时亦有FY (y) 0．