考研数学一历年真题大全(1987-2013)打印完美版

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1987年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)当x=_____________时,函数y x 2x取得极小值.

(2)由曲线y lnx与两直线y e 1 x及y 0所围成的平面图形的面积是_____________.

x 1

(3)

与两直线y 1 t

z 2 t

及x 1y 2z 1

1 1

1都平行且过原点的平面方程为_____________.

(4)设

L

为取正向的圆周x2 y2 9,则曲线积分

L

(2xy 2y)dx (x2 4x)dy= _____________.

(5)已知三维向量空间的基底为α1 (1,1,0),α2 (1,0,1),α3 (0,1,1),则向

量β (2,0,0)在此基底下的坐标是_____________.

二、(本题满分8分)

1x2

求正的常数a与b,使等式limbx sinx 0

1成立.

x 0

三、(本题满分7分)

(1)设f、g为连续可微函数,u f(x,xy),v g(x xy),求

u x, v x

. (2)设矩阵A和B满足关系式AB=A 2B,其中A 301 110 ,求矩阵B. 4 01

四、(本题满分8分)

求微分方程y 6y (9 a2)y 1的通解,其中常数a 0. 五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设limf(x) f(a)

a)2

1,则在x a处

x a(x (A)f(x)的导数存在,且f (a) 0 (B)f(x)取得极大值 (C)f(x)取得极小值 (D)f(x)的导数不存在

s(2)设f(x)为已知连续函数,I t tf(tx)dx,其中t 0,s 0,则I的值 0

(A)依赖于s和t (B)依赖于s、t和x

(C)依赖于t、x,不依赖于s

(D)依赖于s,不依赖于t

(3)设常数

k 0,则级数 ( 1)nk n2 n 1

n(A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)散敛性与k的取值有关 (4)设A为n阶方阵，且A的行列式|A| a 0,而A*是A的伴随矩阵，则

|A*|等于

(A)a

(B)1a

(C)an 1

(D)an

六、（本题满分10分）

求幂级数

1nxn 1的收敛域，并求其和函数.

n 1n

2

中