动点轨迹方程的求法

轨迹方程的求法

一、待定系数法 曲线形状明确且便于使用标准形式的圆锥曲线轨迹问题，一般用待定系数法求方程。

例1．已知椭圆5x2 14y2 70和直线l:x y 9 0，在直线l上任取一点P，例5．抛物线x2=4 y 的焦点为F，过点M(0,-1)作直线l交抛物线于不同两点A、B，以AF、BF为邻边作平行四边形FARB，求顶点R的轨迹方程。 过P且以已知椭圆的焦点为焦点作椭圆，求作出的所有椭圆中长轴最短的椭圆的方程。

例2．已知双曲线C的两个焦点为F1,F2，

直

线L过点F2，与线段F1F2夹角为 ,且 tan

，与线段F1F2垂直平分的交

点为P，线段PF PQ 2 QF

2与双曲线的交点为Q，且2，求双曲线方程。

二、直接法 按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时．

例3．已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2

y2

1，动点M到圆C的切线长与MQ的比等于常数 0 ，求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线．

三、代入法 若动点M（x，y）依赖已知曲线上的动点N而运动，则可将转化后的动点N的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件，从而求得动点M的轨迹方程，此法称为代入法，一般用于两个或两个以上动点的情况．

例4．已知抛物线y2

x 1，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP:PA=1:2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线．

四、定义法 若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空、选择题的形式出现．

例6．若动圆与圆(x 2)2 y2 4外切且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）

（A）y2 12x 12 0 （B）y2 12x 12 0 （C）y2 8x 0 （D）y2 8x 0

例7．一动圆与两圆x2 y2 1和x2 y2 8x 12 0都外切，则动圆圆心轨迹为（ ）

（A）抛物线 （B）圆 （C）双曲线的一支 （D）椭圆

例8．如图所示，直线l1和l2相交于M，l1 l2,点N l1，以A、B为端点的曲线C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等，若△AMN

为锐角三角形，

AM AN 3,且AB 6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程。

l 2

B

l1

例9．已知圆C： x 1 2

y2

25内一点A（1，0）Q点为圆C上任意一点，

线段CQ连线交于点M，求点M的轨迹方程。