例析以高等数学为背景的高考数学试题

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名师导航2012年4月

例析以高等数学为背景的高考数学试题

筅江苏省泗阳中学数学教育实验室

高考是一种选拔性考试，对数学学科的考查，强调重基础，考能力．试题体现对数学知识的理解和应用，考查考生数学思维的深度和广度，以及进一步学习数学的潜能《．普通高中数学课程标准（实验）》指出：“学生的数学学习方式不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学还应倡导自主探索、动手实践、合作交阅读自学等学习数学的方式．这些方式有助于发挥学生学习流、

的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程．”高考数学考试大纲也明确指出高考命题既要注重中学数学知识和方法的考查，又要与高等数学相关联，考查学生进入高校继续学习的潜能．

纵观近几年的高考试题，高等数学与初等数学交会是高考创新题的重要题源，这样的试题常常以高等数学符号、概念直接出现，或以高等数学的概念、定理作为依托融于初等数学知识中，或体现高等数学中常用的思想方法和推理方法等的创新试题．此类试题就是重新给出一些信息，要求考生能根据所给的信息来解决新问题的数学试题．这些信息主要包括新的概念、新的运算、新的性质、新的规则等．本文就以高等数学为背景的高考数学试题为例对其命题背景进行溯源，对其解法进行探讨，以期能对今后高考数学复习有所启示．

张琥（特级教师）

2x2x

，（x）（x－1－e－）曲线y=f（x）与y=g（x）存在“分渐近g=2．其中，x+1的是（线”

A．①④

背景

）.B．②③

C．②④

D．③④

本题以数学分析中极限的“ε－δ”定义为背景，定义

“分渐近线”的概念，考查学生运用新知识解决问题的能力．这些函数都是学生平时学习中接触过的，并不感到陌生，但考查角度新，充分考查学生在自然语言和符号语言中进行转化及推理的能力．极限是高等数学中的基础知识和核心内容，虽然在新教材中，极限这部分内容基本不涉及了，但在高考试题中渗透极限思想还是令人赞不绝口．由于应用了极限思想，从而使呆板、平淡的数学试题充满活力和魅力，同时也折射出命题的交会性．

解析：存在分渐近线的充要条件是x→∞时，有（）（x）fx－g→

且（）（x）（x）0，fx>h>g．

对于①，（）（x）当x→∞时，（）（x）所fx－h=x2－kx－b，fx－h→∞，排除A.以①不符合，

对于②，一定存在分渐近线．取h（x）因为当x→∞时，（）=2，fx（x）且有（）（x）（x），排除D.－g→0，fx>h>g

对于③，当x→∞时，虽有（）（x）fx－g=

11

但此时h－→0，

xlnx

一、自主定义新的概念

1.以“数学分析”中的基础知识为背景的新定义型题.

例1（2010年福建卷理）对于具有相同定义域D的函数（）fx

（x）（）（x），（x）（x），不符合分渐近线的条件，因此，应=x，fx>hg>h排除B.

对于④，因为（）fx=（x）g=

2x22

，所以，当x→∞时，（）=2x－2+fx－

x+1x+1

和g（x），若存在函数h（x）（k、，对任给的正数m，=kx+bb为常数）存在相应的x0∈D，使得当x∈D且x>x0时，总有

∈（x）（x）0<h－g<m，

（x）（x）0<f－h<m，

2

%

22

取h（x）则有（）（x）（x），所以存+x→0，=2x-2，fx>h>g

x+1e

则称直线l：（x）与y=g（x）的“分渐近线”y=kx+b为曲线y=f．给出定义域均为D=｛x|x>1｝的四组函数如下：）（x）①（fx=x，g=姨；②f（x）（x）=10－x+2，g=

2x－3x+1xlnx+1

；），（x）；）③（fx=g=④（fx=xxlnx

2

在分渐近线．

故选C．

2.以“高等代数”中的基础知识为背景的新定义型题.

例2（2011年广东卷理）设S是整数集Z的非空子集，如果

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