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华杯赛初二辅导 第六讲 不定方程
一、知识概述
不定方程（组）是数论中的一个重要课题，不仅是数学竞赛，甚至在中考试卷中也常常出现. 对于不定方程（组），我们往往只求整数解，甚至是只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定.有时还可以解决计数、求最值等方面的问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决.
本讲重点，求一次不定方程（组）的整数解。
不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定.
重要定理：
设a、b、c、d为整数，则不定方程ax by c有：
定理1 若(a,b) d,且d不能整除c，则不定方程ax by c没有整数解；
x x0 bt,（t为整数）是方定理2 若(x0,y0)是不定方程ax by c且的一组整数解（称为特解），则
y y0 at
程的全部整数解（称为通解）. （其中(a,b) d,且d能整除c）.
定理3 若(x0,y0)是不定方程ax by 1，(a,b) 1的特解，则(cx0,cy0)是方程ax by c的一个特解. （其中(a,b) d,且d能整除c）.
求整系数不定方程ax by c的正整数解，通常有以下步骤： （1） 判断有无整数解； （2） 求出一个特解； （3） 写出通解；
（4） 有整数t同时要满足的条件（不等式组），代入命题（2）中的表达式，写出不定方程的正整数解. 解不定方程（组），需要依据方程（组）的特点，并灵活运用以下知识和方法：
（1）分离整系数法； （2）穷举法； （3）因式分解法； （4）配方法； （5）整数的整除性； （6）奇偶分析； （7）不等式分析； （8）乘法公式.
二、典型例题
【例1】求下列不定方程的整数解（1）2x 6y 8 ； （2）5x 10y 13.
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